06–07 局部算子与卷积

对应课件：

2021-pho1-06-local-op-part1.pptx.pdf（以下简称 Part 1）
2021-pho1-07-local-op-part2.pptx.pdf（以下简称 Part 2）

1. 从局部算子到卷积#

点算子只使用一个强度值，因而难以处理噪声和局部结构；局部算子（neighborhood operator）改为在像素邻域内组合强度值。Part 1 第 2—4 页给出点、局部、全局算子的区分，并将卷积作为定义局部线性算子的统一框架。

令输入图像为，输出为，权重函数（核）为。二维局部加权和为

这里就是 kernel；该式可简记为（Part 1 第 13、15 页）。滤波器若满足

以及对位移输入给出相同位移的输出，则称为线性、平移不变（Part 1 第 14 页）。

2. 平滑：方框核、边界与二项式核#

方框滤波#

方框滤波以邻域平均值替换中心像素。对三点一维邻域，课件的展开为

即，其中；三乘三二维方框核为（Part 1 第 16—23 页）。核权重和为 1，因此图像均值不变；下划线元素是索引的参考像素。

这种平均会降低噪声，但也会平滑结构。中值滤波以邻域中位数替代均值，抗离群点，但不再是线性滤波（Part 1 第 24—25 页）。边界没有完整邻域时可采用常数填充、循环、夹持或镜像填充（第 26—27 页；图示详见第 27 页）。

二项式滤波#

二项式滤波是高斯形状的离散近似，权重来自的二项分布/帕斯卡三角形。课件给出的例子为

二维核由一维核外积得到：

这也是可分离计算的一个实例。对于相同邻域，二项式滤波较方框滤波平滑得更温和；其噪声关系、平滑度和核尺寸的关系见 Part 1 第 35—36 页，系数与二维例子见第 29—34 页。

3. 卷积的定义、性质与计算#

离散一维、二维卷积定义分别为

记作（Part 1 第 39 页）。

交换律推导。

故（第 40 页）。此外还有结合律、分配律，以及标量关系（第 41 页）。单位冲激与平移、反卷积的说明见第 42—45 页。

可分离核。 若多维核能拆为各维的一维核，则称为可分离。课件例子：

因此两个一维卷积比一次二维卷积高效（第 46—47 页）。多个平滑核串接仍是平滑核；二项式核满足（共次，见第 48 页）。积分图储存左上矩形累计强度，可高效求任意矩形和并执行方框滤波（第 49—50 页；矩形求和图示详见第 50 页）。

4. 一阶导数与梯度#

对单位采样间隔，前向差分从定义得到

令，按卷积的索引写法有

从而（Part 2 第 16—18 页）。为同时考虑左右像素，中心差分为

该核又可由二项平滑核与梯度核的卷积得到：

故它是原始梯度核的平滑版本（第 19—22 页）。导数核含负权重且权重和为 0，所以常量信号的一阶导数为 0（第 23 页）。

二维中，因此

它们分别给出梯度的两个图像分量、幅值与方向（第 25—27 页）。示例图详见第 28 页。

5. Sobel、Scharr、二阶导数与 Laplace#

Sobel 把二项平滑与一阶梯度组合为 3×3 核：

第 29—31 页给出了这两个方向核和边缘检测例子。Scharr 使用不同的平滑核；课件指出其梯度方向估计约比 Sobel 准 10 倍、典型误差小于 0.5 度（第 32—34 页）。

二阶导数推导。 用一阶差分核连续卷积：

二维二阶信息由 Hessian 矩阵

组织（第 36—40 页）。Laplace 用于边缘检测：

课件还给出较平滑版本（第 42—43 页）；效果例子详见第 44 页。

6. 复习要点#

卷积把“邻域加权组合”写成统一算子；核的形状决定平滑或导数性质。
方框核是均匀平均；二项式核用帕斯卡系数构造更接近高斯的平滑。
一阶差分核求变化，平滑后形成中心差分与 Sobel；二阶差分形成 Hessian 和 Laplace。
可分离核和积分图分别降低常规卷积与方框滤波的计算代价。