来源#

• 2021-pho1-03-img-histo-1-histograms.pptx.pdf，共 36 页（Part 1：直方图基础）
• 2021-pho1-04-img-histo-2-transformations.pptx.pdf，共 53 页（Part 2：直方图变换）
• 作者：Cyrill Stachniss

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Part 1: Image Histograms and Simple Point Operators#

1. 灰度图像与图像函数#

• 灰度图像可视为二维强度测量网格，也常表示为 矩阵，像素值取值范围为 。
• 图像强度可表示为函数 其中通常

2. 图像直方图（Image Histogram）#

• 直方图是数值数据分布的近似表示；图像直方图则表示图像强度值的分布。
• 定义： 即统计图像中取值为 的像素个数。
• 概率（经验概率密度函数，empirical PDF）：
• 计算算法：创建长度为 256 的向量 并初始化为 0，对每个像素 执行 。时间复杂度为 ，与像素数成线性关系。

累积直方图与经验 CDF#

• 累积直方图（cumulative histogram）定义为
• 经验累积分布函数（empirical CDF）为
• 是强度值的经验 PDF， 是经验 CDF。

3. 直方图反映的图像信息#

• 强度分布描述图像的亮度、对比度等属性：
  • Mean（均值） 描述 brightness（亮度）；
  • Variance（方差） 描述 contrast（对比度）；
  • Median（中位数） 是亮度的稳健描述。
• 改变均值的变换会改变图像亮度；改变方差的变换会改变图像对比度（增大方差即增大对比度）。

4. 图像算子（Operators）#

• 三类算子：
  • Global operator（全局算子）：整幅图像参与运算；
  • Local operator（局部算子）：基于局部邻域运算；
  • Point operator（点算子）：仅根据单个像素的输入值计算输出值。

点算子（Point Operator）#

• 点算子仅依据输入像素的强度值映射到新值，与其他像素值无关：
• 一般形式为 其中 为输入， 为输出， 为参数。

线性函数#

• 最基本的函数类为线性函数： 因此
• 线性函数下均值与标准差的传播为

常见图像变换#

• 注：由于像素值被限制在 ，实际线性映射常需要截断（clamping），并非完全线性。

非线性函数#

• 阈值化（Thresholding）： 常见取值为 或 。
• 当 或 时，得到二值图像（binary image）。
• 量化（Quantization）：二值图像是量化的特例；量化即将灰度值舍入到一组离散值。最优编码应选择使舍入误差最小的量化方式。

点算子的实现#

• 点算子可通过查找表（look-up tables）高效实现：预先计算 256 种可能输出并存入数组，实际运算只需读取内存。

5. 彩色图像与摄影中的色调曲线#

• 对彩色图像，通常对每个颜色通道分别建立直方图。
• 摄影软件中的 Tone Curve（色调曲线） 本质上就是点算子：通过曲线调整输入与输出强度的映射关系，以改变亮度、对比度等。详见 2021-pho1-03-img-histo-1-histograms.pptx.pdf 第 34 页。

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Part 2: Histogram Transformations#

1. 从变换函数预测输出直方图#

• 已知单调变换 与输入直方图 ，可计算输出直方图 ，并据此设计 。

PDF 的变换#

• 区间 内的“面积”被映射到 ，像素总数保持不变，因此
• 由此得到
• 由于 应依赖于 而非 ，利用逆函数 ，有

线性函数示例#

• 若 ，则 ，逆函数 。
• 代入上式得
• 这对应于直方图平移 并缩放 。

2. 直方图均衡化（Histogram Equalization）#

• 目标：设计变换，使得输出图像在每个直方图 bin 中的像素数相同，即
• 对于单调递增的 ，结合 PDF 变换公式 可得
• 两边积分： 右侧是输入直方图的积分，即累积直方图 ，因此
• 参数 通常按边界条件选取： 由于 ，代入得 解得
• 最终得到直方图均衡化的点算子： 该式将输入强度谱映射到完整的 范围。

均衡化的效果与说明#

• 通常能增强对比度；局部对比度较低的区域获得更大的对比度提升。
• 将强度分布“铺开”到整个直方图。
• 连续情形与离散情形：连续世界中可得到完全平坦的输出直方图；离散图像由于像素值和 bin 数有限，只能做到“尽可能平坦”，输出直方图呈阶梯状。
• 变体：
  • AHE（Adaptive Histogram Equalization）：在局部小块而非整幅图像上做均衡化。
  • CLAHE（Contrast Limited AHE）：限制 AHE 在均匀区域中的过度放大。

3. 噪声方差均衡化（Noise Variance Equalization）#

动机：泊松分布#

• 光子到达传感器的数量服从泊松分布： 其中 为每秒平均入射光子数， 为曝光时间。
• 均值与方差均为
• 标准差 ，相对精度为
• 因此，光子计数越高，方差越大；强度测量带有噪声，且噪声水平与强度相关。

方差均衡化推导#

• 假设强度 的方差与强度成正比：
• 目标：使输出 的标准差对所有强度均为常数：
• 对单调递增函数 ，方差传播给出
• 代入 并整理：
• 积分得
• 取 使得 ；再选择 使得 ，即
• 最终得到
• 该平方根函数会拉伸暗部、压缩亮部，从而使所有像素强度具有相同的噪声方差。

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总结#

1. 图像直方图表示图像强度分布，可用于分析亮度、对比度等特性。
2. 点算子是最简单的图像变换，仅依据单个像素值进行映射，可用查找表高效实现。
3. 线性变换调整亮度（）和对比度（）；阈值化/量化是非线性点运算的重要例子。
4. 单调点算子下输出直方图可由输入直方图与变换函数导出：。
5. 直方图均衡化通过累积直方图将强度映射到整个动态范围，增强对比度。
6. 噪声方差均衡化利用方差传播推导平方根变换，使不同强度的像素具有相同的噪声方差。