狄利克雷卷积

引入1：积性函数#

1. 定义数论函数为定义域是正整数，而值域是复数的函数。
2. 定义积性函数为满足如果, 互质则 的数论函数。
3. 定义完全积性函数为对于任意, 都有 的数论函数。
4. 对于一个积性函数，对任意 ，只要知道就能确定.
5. 对于完全积性函数，我们只要知道所有的 就够了。

• 单位函数：。（完全积性）
• 恒等函数：， 通常简记作 。（完全积性）
• 常数函数：。（完全积性）
• 除数函数：。 通常简记作 或 ， 通常简记作 。
• 欧拉函数：
• 莫比乌斯函数：，其中 表示 的本质不同质因子个数，它是一个加性函数。

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狄利克雷卷积#

定义两个数论函数的卷积为：(这其实就是狄利克雷卷积),记作则有：

性质#

交换律： 。

结合律：。

分配律：。

等式的性质： 的充要条件是 ，其中数论函数 要满足 。

应用：莫比乌斯反演 ↗#